Web（ブラウザ）版からは設定可能

公式アプリでは不可能ですが、
Web（ブラウザ）版Twitterからであれば、
背景（壁紙）を設定・変更できるようです。

Safariの場合はiOS8以降であれば
スマホからでもPCサイトを
表示できるようになっています。

Twitterにアクセスして
上のアドレスバーをタップ、
お気に入り画面を下にスワイプし、
「デスクトップ用サイトを表示」
という項目をタップすればOK。

Chromeの場合はやや手順が異なりますが、
右上にある三本線をタップし、
「PC版サイトをリクエスト」を選択すればOK。

Web版のTwitterが表示されたら、
右上のプロフィール画像をタップし、
「設定」を選択。

※この時、画面を拡大し過ぎると、
プロフィール画像がこのように
隠れてしまうので注意しましょう。

次に、左のメニュー項目から
「デザイン」を選択。

すると、
背景画像のカスタマイズ画面になるので、
好みの画像を選択して設定しましょう。

「独自にカスタマイズする」の下にある
「▼背景画像を選択」をタップすると、
フォルダから画像をアップロードできます。

パソコンから背景画像を変更する場合も、
この手順と同じになります。

画面右上のプロフィール画像をクリック
→左のメニューからデザインを選択
→背景画像を変更→変更を保存

パソコンから行う方が簡単なので、
自宅にパソコンがある場合は
それを使った方がいいと思います。

最後に

背景画像を設定したとしても、
それはWeb版にしか反映されません。

公式アプリで見てみても、
背景はデフォルトのまま、
真っ白という状態になります。

これはTwitterの仕様なので、
どうしようもありませんが・・・

また、参考として、
このようなまとめ記事もあるので、
ぜひ目を通して見て下さい＾＾

＞＞Twitter 背景画像にオススメ！フリー素材まとめ8選！